Bất đẳng thức ngược dấu rồi.

BĐT \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\prod\left(a+b-c\right)\le a^4+b^4+c^4\)

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 2s\\ab + bc + ca = {s^2} + 4Rr + {r^2}\\abc = 4sRr\end{array} \right.$

Bất đẳng thức cần chứng minh quy về:

\(16\,r{s}^{2} \left( R-2\,r \right) +2\,{s}^{2} \left( 5\,{r}^{ 2}+{s}^{2} -16\,Rr\right) +2\,{r}^{2} \left( 16\,{R}^{2}+8\,Rr+{r}^{2}-3\,{s} ^{2} \right) \geqslant 0\)

Đây là điều hiển nhiên.

Bất đẳng thức mà sao dấu =.

Ta có:

\(\left(2a^2-b^2-c^2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow4a^4+b^4+c^4-4a^2b^2-4a^2c^2+2b^2c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge6a^2b^2+6a^2c^2-3a^4\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}a}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\sqrt{3}\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Cộng vế: \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)

\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c\)

1 bài BĐT rất hay !!!!!!

BẠN PHÁ TOANG RA HẾT NHÁ SAU ĐÓ THÌ ĐƯỢC CÁI NÀY :33333

\(S=15\left(a^3+b^3+c^3\right)+6\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)-72abc\)

\(S=9\left(a^3+b^3+c^3\right)+6\left(a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\right)-72abc\)

\(S=9\left(a^3+b^3+c^3\right)+6\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-72abc\)

TA ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ SẼ ĐƯỢC:

\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\end{cases}}\)

=>    \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9abc\)

=>    \(72abc\le8\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

=>   \(-72abc\ge-8\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

=>   \(S\ge9\left(a^3+b^3+c^3\right)+6\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-8\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

=>   \(S\ge9\left(a^3+b^3+c^3\right)-2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

=>   \(S\ge9\left(a^3+b^3+c^3\right)-\frac{2}{9}\left(a+b+c\right)\)

TA LẠI TIẾP TỤC ÁP DỤNG BĐT SAU:   \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le\frac{1}{3}\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{\frac{1}{3}}\)

=>   \(S\ge9\left(a^3+b^3+c^3\right)-\frac{2}{9}.\sqrt{\frac{1}{3}}\)

TA LẦN LƯỢT ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ SẼ ĐƯỢC:

\(a^3+a^3+\left(\sqrt{\frac{1}{27}}\right)^3\ge3a^2.\sqrt{\frac{1}{27}}\)

ÁP DỤNG TƯƠNG TỰ VỚI 2 BIẾN b; c ta sẽ được 1 BĐT như sau: 

=>   \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\left(\sqrt{\frac{1}{27}}\right)^3\ge\frac{3}{\sqrt{27}}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3}{\sqrt{27}}.\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{\sqrt{3}}{27}\)

=>   \(a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{27}-3\left(\sqrt{\frac{1}{27}}\right)^3\right)}{2}\)

=>   \(S\ge\frac{9\left(\frac{\sqrt{3}}{27}-3\left(\sqrt{\frac{1}{27}}\right)^3\right)}{2}-\frac{2}{9}.\sqrt{\frac{1}{3}}\)

=>   \(S\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\)

VẬY TA CÓ ĐPCM.

DẤU "=" XẢY RA <=>   \(a=b=c=\sqrt{\frac{1}{27}}\)

VT=2a²b²+2a²c²+2b²c²-a⁴-b⁴-c⁴

=a²b²+a²c²+b²c²+a².(b²-a²)+b².(c²-b²)+c².(a²-c²)

=a²b²+a²c²+b²c²+a².(b+a)(b-a)+b².(c+b)(c-b)+c².(a+c)(a-c)

Ta lại có : a+b>c=>a-c>-b

                 b+c>a=>b-a>-c

                 c+a>b=>c-b>-a

(BĐT tam giác)

=>VT>a²b²+a²c²+b²c²+a².c.(-c)+b².a.(-a)+c².b.(-b)

=0

=>VT>0 =>dpcm

Xét \(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)-2c^2\left(a^2-b^2\right)+c^4-4c^2b^2\)

=\(\left(a^2-b^2\right)^2-2\left(a^2-b^2\right)c^2+c^4-4c^2b^2=\left(a^2-b^2-c^2\right)^2-4c^2b^2\)

=\(\left(a^2-b^2-c^2-2bc\right)\left(a^2-b^2-c^2+2bc\right)=\left[a^2-\left(b+c\right)^2\right]\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\)

=\(\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\)

Mà a,b,c là 3 cạnh tam giác => a-b-c<0 ;a+b+c>0;a-b+c>0;a+b-c>0 

=>\(...< 0\Rightarrow a^4+b^4+c^4< 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\left(ĐPCM\right)\)

ta có\(a^4+b^4+c^4< 2a^2b^2+2c^2a^2+2b^2c^2\)

<=> \(-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2>0\)

<=>\(4a^2c^2-\left(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2+2a^2c^2-2b^2c^2\right)>0\)

<=> \(4a^2c^2-\left(a^2-b^2+c^2\right)^2>0\)

<=>.......

<=>(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b-a+c)>0

luôn đúng vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác 

vậy bđt trên dc cm dễ dàng

bạn sử dụng BĐT tam giác :

a  <  b + c => a² < b² + c²

b < a + c => b² < a² + c²

c < a + b => c² < a² + b²

bạn tự làm nhé vì mik làm bạn cũng ko chọn mik

Ta có:A = a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2a²b² - 2b²c² - 2a²c² = (a²)² + (b²)² + (c²)² + 2a²b² - 2b²c² - 2a²c² +

4a²b² = (a²+b²-c²)²-4a²b²

=(a²+b²-c²-2ab)(a²+b²-c²+2ab) (1)

Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên c>|a-b| =>c²>(|a-b|)²=(a-b)²

=>c²>a²+b²-2ab =>a²+b²-c²-2ab<0 (2)

lại có a+b>c =>(a+b)²>c² =>a²+b²-c² +2ab > 0 (3)

Từ (1)(2)(3) =>A<0 (Đpcm)

#Thắng: t ko nghĩ ông lại copy trong CHTT đấy, mà sai rồi, đề là CM>0; ông lại CM < 0